两个不等式的指数推广_论文

发布于:2021-09-18 02:46:43

维普资讯 http://www.cqvip.com 8   第 2 5卷 第 1期  凯 里 学 院学 报  J u n l fKal U nv riy o r a    i  ie st  o i Vo . 5 No 3 12   .   2 0 年 6月 07   Ji. 0 7 t 20  n 两个 不 等 式 的指 数 推 广  宋贵 山 , 黄俊 明   ( 里 学 院数 学 与 计 算 机 科 学 系 , 州 凯 里 5 60 ) 凯 贵 50 0  [ 摘  要]先 用初 等 方 法将 文E 3 两个 不等 式 的指 数推 广到 正 有理 数 , 1的 然后 再 用导 数 方 法 将 其 进 一 步地 推 广  到 正 实数 .   [ 关键词]不等 式; 初等方法 ; 导数 方法  [ 中图分类号]O1 23 [ 2 .  文献标识码]A [ 文章编号]1 7 — 3 9 2 0 )3 0 0 一 1 6 3 9 2 (0 7 0 —0 8 O  文E3 1 用初等方法给 出 1 三角不等式如下  个 设 0为 锐 角 , mEN+, 则  S0S≤ √ i m 2  nC  2O   ?   当 仅 c0 / 且 当o =^号时. ) 等 成 . t ( 式 号 立  1 由理,(式端   奎 定1 3左≥ 得)   ( 1 )   『    -当且仅当 直 ,   上式等号成立, ro 0 c t l= c t 一 C t o  O  … ?= C t  =  O 0 ≥   ,  即 本 文 仍 然 用初 等 方 法 将 ()式 的 指 数 m 的 范 围 推 广 到  1 正有 理数 得 到 定 理 1 定 理 2 . .   定理 1 设 0为锐角 , ∈ { l ∈ Q,   m      > 0 则  } . 鱼一   { !   旦鱼:里鱼I.: 竺 .  . IO  1  S   C CSz O   0 CS O  C S0 O   1   s0S≤√  , . m 2 篙   nC  zO   当 仅当o0 、 且 c =,等时。 ) 等 成 . t / ( 式 号 立  2 ( 2 )   。 一。 l 2一 。  3 ’   — i二   ‘ 1’ : 在定理 2 。 a = 中 取     一 1矗 > 1i 12 3 … ? ? ( . = ?? ?  )  £   = (  ∈ N )时的情 形 , 十 l 即可得 文E 3的推 广 2 自 1 .  证 依题意可   设m一÷ (.∈N 。l 。 =1则 户q   I pq )    ̄ ) ( s z   S  i  c m n 0 O 0一 [s z 却(o。   寿. (i  ) c s ]   n  ) 由均 值不 等式 , 得  (  iz … (  iz qsn ) qsn )( O 。 ) ( O 。 2C S … 2C S ) ≤    — — —■   — — — 一 — — — —  — — —一   一 然 , 们 会 考 虑 定 理 1中 的指 数 m 的范 围 能 否 推 广 到 正 实  我 数 , 研 究 有 如 下  经 推 广 1 设 0 锐 角 , > 0 则    为 m 。 s0 ̄ 2 番 ,  C 口 √ O≤ S   证  设 j = s z C S 0 由 y = s 0 o  ̄    , i   O ̄ , n O   i c s 0? n ( 4 )   2X   7   t l z ( 式 号 立,且 4 等 成 当 仅当c =,等时。 号 立  ) o0 、 t / 等 成 . (o 0 sz) : <0 ro、 2s 一 i 知 当0 <ac ,等时, >0 c。 n   ct/ j , ,     日 ( q( [ r?   口 c -2   ( o Z s   p     所 以 上 式 化 简 即可 得 ( )式 , 2 当且 仅 当 口s z i  n 0= 2   S 0 即  pC 。 , O l   j ’   s0m q2 [ r? i   -     C ≤ l O S (   当rt号<< , o   ao 詈时 a。   号时j ? =rt , c√ c , 当 c√     < c c =^ 时, 号 立  O0 / t   等 成 . 定理 2 设 n    > O i 1 2 3 … , ) t 1 t { ( 一 , , 。   。> 且 ∈   l ∈ Q。: 0 。   X 3> )n> 2且 n∈ N+. i 则  j o 以  a。 詈 , =√ 南 . , 。 当=c√ 时, 2   所 = rt j c     由推 广 1并 仿 照定 理 2的证 明 方 法 。 得 定 理 2如 下  , 可 的推广.   推 广 2 设 a > 0 i 1 2 3 … ,) t 1 > 2 i ( : , ,,   。> ? 且  ∈ Nl, + 则  . 垒±     +   ± :   +…+   a  2   a 3   a  . (  + 1   n ) a 1   ≥  () 3  ( 2+ 1   + … + 口 )   a3   ! :  ± + a  a 1   ≥  ( ) 当且 仅 当 n 3式  一 口 2= n 。一 ? n   1 时 等 号  =  一   , 成立.   证  令 n 一 tn ‘O 为 锐 角 。 一 12 3 … 。) 规 定    a z (i 0 i ,,。   , 当且 仅 当 n  一 口 2= n 。_ . = n   1 时 . ?  一   . 等 号 成立 .   0  一  , 则  — — — — — — — — —   — — — 一   参考文献 :

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